스플라인 보간법 기본개념 : 큐빅 스플라인 보간법 2

큐빅 스플라인 보간법 기본 식과 계수 산출

스플라인 보간법은 점과 점 사이의 관계를 다항식을 통해서 풀어내는 방법 중의 하나이다. 점과 점사이를 정의하는 다항식의 최고차항의 차수가 높아질수록 곡선에 가까워지고 정교한 보간이 가능해진다. 그리고 우리는 최고차항이 3차인 큐빅 스플라인 보간법에 대해서 "스플라인 보간법 기본개념 : 큐빅 스플라인 보간법 1"에 이어서 알아보려고 한다.

큐빅 스플라인 보간법의 기본 식

그래프1: 각 점들의 관계

위 그래프와 같이 각 점과 점 사이의 관계를 f(x)의 다항식으로 정의하고 특히 3차 다항식으로 정의하는 큐빅 스플라인 보간법은 아래와 같은 기본식을 가진다.

식1: 큐빅 스플라인 보간법 기본식

위 식1을 활용하기 위해선  계수인 ai, bi, ci, di를 알아야 하고, "스플라인 보간법 기본개념 : 큐빅 스플라인 보간법 1"에서는 계수들을 X, y, D에 관한 식으로 정리했다. 이제 각 계수들을 D와 y에 관한 관계식으로 더 간단하게 정리해서 최종적으로 보간법을 사용할 수 있는 상태로 만들어 보자.

계수 산출: 2

"스플라인 보간법 기본개념 : 큐빅 스플라인 보간법 1" 에서 계수인 ai, bi, ci, di를 아래와 같이 정리했다. 

식2: ai, bi, ci, di 계수 정리 1

이렇게 정리한  ai, bi, ci, di를 D와 y의 관계식으로 간단하게 정리해보자.

식3 : ai, bi, ci, di 계수 정리 2

시작점과 끝점 구하기

위 계수의 규칙들은 그래프 1에서 볼 수 있는 것처럼 그래프 가운데 어느 지점에서는 유효하다. 하지만 양 끝점(시작점과 끝점)은 그래프의 변곡점이 되므로 아래와 같은 과정을 통해서 계수들을 따로 정리해 줘야 한다.

식4: ai, bi, ci, di 계수 정리 3(양 끝점)

각 구간별 계수 산출을 위한 관계식(결과)

Di 와 yi 관계식

모든 것을 종합하면 결국 위와 같은 matrix 가 도출될 것이고 각 점에서 나오는 D와 y의 관계를 계수인 ai, bi, ci, di의 산출식에 적용하면 각 지점에서 fi(x) 값을 구할 수 있다. 결국 내가 원하는 x의 xi ~ xi+1 구간을 구하고 fi(x)를 통해서 y값을 구할 수 있는 것이다.