스플라인 보간법 기본개념 : 큐빅 스플라인 보간법 1

스플라인 보간법 기초개념

우리가 연습한 선형보간법( 선형보간법 연습), 지수보간법( 지수보간법 연습)은 각 점들의 관계를 비례식을 이용해서 풀어냈다. 그런데 이 점들 사이의 관계를 다항식을 통해서 정의할 수도 있다. 이때 다항식의 최고차항의 차수가 커질수록 점점 더 곡선에 가까워지고 보간이 정교하게 된다. 

큐빅 스플라인 보간법의 기본 조건

스플라인 보간법의 기본 식

점과 점 사이의 관계를 f(x)라는 다항식으로 나타낼 수 있다는 것이 스플라인 보간법의 기본 컨셉이다. 아래 그래프처럼 각 점을 있는 각각의 f(x) 함수를 가정할 수 있는 것이다.

그래프1: 점과 점사이의 관계를 다항식으로 표현

이때 각점을 일반화시키면 아래와 같은 그래프로 나타낼 수 있다.

그래프2: 관계의 일반화

위와 같이 일반화시킨 그래프에서 f(x)는 1차식, 2차식, 3차식, 4차식 등 이 될 수 도 있다. 차수가 높아질수록 곡선에 가까워지고 좀 더 정교한 보간법이 된다. 우리는 아래 식 1처럼 직선인 2차식보다 부드러운 3차식으로 보간하는 것을 알아보려고 한다. 그리고 이렇게 3차식으로 보간을 하는 것을 큐빅스플라인 보간법이라고 한다.

식1: 큐빅 스플라인 보간법 기본식

식 1을 활용하기 위한 핵심은 각 점에서의 fi(x)에 대한 계수인 ai, bi, ci, di를 구하는 일이다. 그래야만 특정 x 가 xi ~ xi+1 범위에 들어간다면 fi(x) 를 이용해서 y 값을 구할 수 있기 때문이다. 계수인 ai, bi, ci, di를 구하기 위해서 아래 4 가지 성질을 이용하려고 한다. 

4가지 기본 성질

식2: 큐빅스플라인 보간법 4 가지 기본 가정

계수 산출: 1

위 네 가지 성질을 바탕으로 해서 아래와 같은 과정을 통해서 계수인 ai, bi, ci, di를 구할 수 있다.

식3: 큐빅 스플라인 보간법 계수 산출

식 3에서 계수들을 X, y, D에 관한 식으로 정리했지만, 단순히 위 식 3에서 계산된 계수들을 갖고 스플라인 보간법을 하는 것은 불가능하다. 각 계수들을 D와 y에 관한 관계식으로 조금 더 정리를 해야 하는데 이는 "스플라인 보간법 기본개념 : 큐빅 스플라인 보간법 2"에서 정리 하겠다.