지수보간법 연습

지수보간법 기초개념 

연속 복리의 가정

우리가 보통 아는 선형 보간법은 아래와 같이 X와 Y 사이에 직선을 그어서 그 비율이 같음을 이용한다. ( 선형보간법 연습 참조)

그림1: 선형보간법 예시

즉, 우리가 Xa와 X1의 거리를 모른다면, Y1 과 Y2의 거리와 Ya와 Y1의 거리의 비를 이용해서 위 식과 같이 그 거리를 구해낼 수 있는 것이다. 

하지만 연속복리를 가정할 경우, 더 이상 위와 같은 단순한 선형 관계는 성립하지 않는다. 즉, Y의 변화가 연속적이라면 우리는 Y의 변화율을 자연로그 함수 위에서 생각해 주어야 한다. 

그림2: 연속복리 방식에 의한 변화율

그림 1처럼 단순히 X와 Y 사이에 직선을 그어서 관계를 생각하는 것이 아니라 그 Y에 자연로그를 취한 값의 변화율을 이용해서 X 값의 변화율을 계산해야 하는 것이다. 

지수보간법으로 값 찾기

그림 2에서 구한 Y의 연속 복리 방식에 의한 변화율을 이용해서 우리는 X1과 X2 사이의 임의의 Xa의 위치를 구해낼 수 있다. 

그림3: 지수보간법 계산식

출발점인 X1 에서 변화율인 X2/X1을 곱해주되 그에 대해 "Y의 연속 복리에 의한 변화율"을 승수로 붙여주면 된다. 여기에서 "Y의 연속복리에 의한 변화율"이 1 즉, X1 ~ X2에 대응하는 Y도 Y1에서 Y2로 100% 이동했다면, 그림 3의 지수는 1이 된다. Xa = X2 가 되는 것이다.

지수보간법 실습 : 스왑포인트 5개월 물 구하기

스왑포인트 계산 예제

스왑포인트는 선물환율의 거래 가격을 의미 하는 것으로 보통 고시 사이트에 아래와 같이 표시되기도 하고, 아래 표의 값들에 100을 곱해서 나타내기도 한다. ( 선물환 가격 결정 방법 : 스왑포인트의 이해 참조 )

그림4: 2012.05.31 스왑포인트 (출처: 서울외국환중개: http://www.smbs.biz/ExRate/FutureExRate.jsp 21.06.22 인용)

위 그림을 알아보기 쉽게 표로 정리해 보자. 

기간	스왑포인트( 위 그림1 의 값에 100을 곱함 )
1주일(7일)	60
1개월(30일)	255
2개월(60일)	495
3개월(90일)	685
6개월(180일)	1060
9개월(270일)	1340
1년(360일)	1630

표1: 스왑포인트 예제

스왑포인트 5개월 물 구하기

한 달을 30일로 잡으면 5개월은 150일이고, 3개월과 6개월 사이에 있다. 위 그림 3에서 X1, X2를 각각 3개월, 6개월에 해당하는 스왑포인트 685, 1060으로 생각하면 되고, Y1, Ya, Y2를 각각 90일, 150일, 180일로 보면 된다. 여기에서 우리가 구하고자 하는 것은(Xa) 150일(5개월)에 해당하는 스왑포인트이다. 이를 정리하면 아래 그림과 같이 된다.

그림5: 스왑포인트 5개월물 계산

그림 5의 식을 계산하면 약 945 가 나온다. 결국 특정 구간별로만 제시된 스왑포인트를 통해서 그 사이 구간의 스왑포인트는 얼마인지 선형보간법보다 더욱 정교하게 계산해 낼 수 있다. 

 

결론: 그냥 이런거 있다고...필요한 사람은 공식만 외우면 됨.