채권가격과 금리의 관계식: 듀레이션과 볼록성의 효과

듀레이션(Duration)과 볼록성(Convexity)을 이용한 채권가격의 계산 문제

금리가 변화할 때 채권가격은 얼마나 어떻게 움직일까? 일반적으로 듀레이션과 볼록성을 반영하면 된다고 알고 있다. 하지만 듀레이션과 볼록성을 적용해서 채권가격과 금리의 관계식을 만드는 것은 또 다른 문제이다. 아래 그림 1 왼쪽 그림의 ① 만큼이 듀레이션이고 ② 만큼이 볼록성일까? 그 이전에 채권가격과 금리의 그래프가 아래 그림 1 왼쪽 같지 않고 오른쪽 같다면 듀레이션과 볼록성을 이용해서 관계식을 어떻게 만들 수 있을까?

그림1: 채권가격과 금리의 관계식 추측

채권가격과 금리의 관계식: 테일러 전개의 활용

채권가격과 금리의 관계는 함수를 사용해서 아래 식 1과 같이 나타낼 수 있다.

식1: 채권가격과 금리의 관계를 함수로 정의

우리의 목적은 f 를 알아내는 것이다. f 가 어떻게 생겨먹은지 정확하게 알 수는 없지만 미분가능한 함수라면 테일러 전개를 통해서 f에 근사하는 다항식을 만들어낼 수 있다. 아래는 테일러 전개를 통해 얻을 수 있는 테일러급수의 정의이다.

식2: 테일러 급수의 정의(위키피디아 https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%85%8C%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B8%89%EC%88%98 23.07.16 AM0810 인용)

식 1의 채권가격과 금리의 관계를 테일러 전개를 이용해서 2차식까지의 테일러 다항식으로 근사하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

식3: 테일러 다항식으로 근사한 채권가격과 금리의 관계식

듀레이션과 볼록성의 정의를 이용하여 위 식 3에서 정리한 테일러 다항식을 다시 쓰면 아래와 같다. 

식4: 듀레이션과 볼록성을 통한 채권가격과 금리의 관계식 정리

결국 채권가격과 금리의 관계는 듀레이션과 볼록성을 통해서 위 식 4처럼 정리할 수 있다.