채권의 볼록성: BOND CONVEXITY

금리변화와 채권가격의 실제 관계: 듀레이션과 볼록성(컨벡서티)

일반적으로 사용하는 수정 듀레이션의 의미는 "채권가격의 금리에 대한 민감도"이다. 정의를 식으로 쓰면 아래 식 1과 같다.(듀레이션의 두 가지 의미: MacD 와 ModD 참조)

식1: 수정듀레이션 식

위 듀레이션 식은 채권가격과 금리의 관계를 아래 그림 1의 왼쪽 그래프와 같이 선형적으로 가정한 식이다. 그런데 채권가격과 금리의 관계는 아래 그림 1의 오른쪽 그래프에 가깝다. 따라서 실제로 금리가 변화하면 그림 1의 오른쪽 그래프에서 확인할 수 있는 것처럼 ① 만큼의 변화 외에  ② 만큼 추가적인 채권가격 변화가 생긴다. 이는 채권가격이 "금리변화"에 추가적으로 반응했기 때문에 나타난 효과이다.

그림1: 금리와 채권가격의 관계

볼록성(Bond Convexity) 계산

채권가격이 금리변화에 얼마나 민감하게 반응하는지를 나타내는 것이  채권의 볼록성(Convexity)이다. "채권가격의 금리에 대한 민감도"인 듀레이션을(1계 도함수) 채권가격에 듀레이션을 곱해서 식 2의 왼쪽과 같이 나타낼 수 있는 것처럼 "채권가격의 금리변화에 대한 민감도"인 볼록성은(2계 도함수) 식 2의 오른쪽과 같이 채권가격에 볼록성을 곱해서 나타낼 수 있다. 

식2: 채권의 듀레이션 관계식(왼쪽) 채권의 볼록성 관계식(오른쪽)

위 식 2를 볼록성 "C"에 대해서 정리하면 아래 식 3과 같이 된다. 

식3: 볼록성 "C" 정리

볼록성 "C"는 수정 듀레이션을 활용해서 아래 식 4 처럼 정리할 수도 있다.

식4: 볼록성 "C" 수정 듀레이션으로 정리

연속복리인 상황에서는 수정듀레이션과 맥컬레이 듀레이션이 같아지므로 위 식 3의 볼록성 식에 맥컬레이 듀레이션을 대입해서 볼록성을 정의할 수도 있는데, 먼저 맥컬레이 듀레이션 식을 다시 정리하면 아래 식 5와 같다.

식 5: 맥컬레이 듀레이션 (위키피디아 https://en.wikipedia.org/wiki/Bond_duration 23.07.14 AM0756 인용)

위 식 5의 맥컬레이 듀레이션 정의를 이용해서 최종적으로 아래 식 6과 같이 볼록성을 정의할 수 있다. 아래 식 6에서 확인할 수 있는 중요한 특성은 채권의 현금흐름은 무조건 0보다 크므로 볼록성은 항상 양수가 된다는 사실이다.

식6: 맥컬레이 듀레이션을 이용한 볼록성 정