유효듀레이션(Effective Duration)과 유효볼록성(Effective Convexity)

유효 듀레이션과 유효 볼록성 개념의 도입

듀레이션의 두 가지 의미: MacD 와 ModD와 채권의 볼록성: BOND CONVEXITY에서 알아본 듀레이션과 볼록성은 모두 일반적인 채권의 경우에는 잘 들어맞는다. 하지만 채권에 콜옵션이나 풋옵션이 붙어있는 경우를 생각해보자. 금리 변화에 대한 채권가격 변화를 알아내려면, 듀레이션과 볼록성 효과 외에 내재되어 있는 옵션의 가치를 추가적으로 모델링해서 채권가격변화에 녹여줘야 한다. 단순히 금리변화의 채권가격 변화에 대한 효과만 측정하는 듀레이션과 볼록성을 사용해서 채권가격 변화를 추정하기는 힘들다는 뜻이다.

옵션의 가치를 굳이 추가적으로 모델링하지 않고, 옵션이 내제된 채권의 듀레이션과 볼록성을 측정하기 위해서 등장한 개념이 유효 듀레이션과 유효 볼록성이다. 유효 듀레이션과 유효 볼록성은 사후적인 데이터의 관측에서부터 시작한다. 먼저 시계열 데이터를 모으고 금리-채권가격 평면에 점을 찍는다. 점 사이의 구간을 보간법을 이용해서 연결하면(선형보간법 연습, 지수보간법 연습 등 참조 ) 금리변화에 대해서 옵션가치까지 반영된 채권가격 변화를 나타내는 관계식을 구할 수 있다.(관측된 채권가격 변화는 옵션가치까지 반영해서 움직였을 것)

그림1: 유효듀레이션과 유효볼록성 산출을 위한 기본 관계식 도출

유효 듀레이션과 유효 볼록성 계산식

유효 듀레이션과 유효 볼록성은 사후적으로 수집한 결과값으로 듀레이션과 볼록성을 만들기 때문에 듀레이션과 볼록성을 계산할 때 필요한 금리에 대한 채권가격의 변화를 미분으로 계산하는 것이 아니라 실제 값을 대입해서 계산한다.

식1: 유효 듀레이션 식(위키피디아 https://en.wikipedia.org/wiki/Bond_duration 23.07.16 AM0942 인용)

유효 듀레이션을 정의한 위 식 1을 보면 채권가격의 변화를 나타내는 dV 값이 채권금리가 내렸을 때의 가격(V-)과 채권가격이 올랐을 때의 가격(V+) 차이를  반으로 나눈 값(1/2)으로 대체된 것을 알 수 있다. 마찬가지로 유효 볼록성을 정의한 아래 식 2를 보면 d^2V가 채권금리가 내렸을 때 가격과 초기 가격의 차이(V- - V0)와 채권금리가 올랐을 때 가격과 초기 가격의 차이(V+ - V0)의 합으로 대체된 것을 알 수 있다. 

식2: 유효 볼록선 식(위키피디아 https://en.wikipedia.org/wiki/Bond_convexity 23.07.16 AM0942 인용)