선형보간법 연습

가치평가에 있어서 보간법의 사용 

국채의 가치를 평가한다고 생각해 보자. 국채 1년 물, 3년 물, 5년 물의 가격은 들어봤어도 3년 6개월 물, 1년 2개월 물의 구체적인 가격은 들어보지 못했을 것이다. 하지만 실무에서 우리는 잔존기간이 3년 6개월이 남았는 3년 5개월이 남았든 해당 채권에 대한 가치 평가를 위한 가격을 계산해야 된다. 해당 잔존기간에 대한 가격(금리)도 없는데 어떻게 평가를 할 수 있을까? 이때 쓰이는 것이 보간법이다.

그림1: 보간법의 사용

위 그림1 처럼 시장에 있는 1년 물, 5년 물 가격을 갖고 3년 10개월 물의 금리( 혹은 가격)를 추론해 내는 것이다. 이런 보간법 중 가장 기초적인 개념이 바로 선형 보간법이다. 

선형 보간법의 기초개념

그림2: 선형보간법의 설명

아무리 수학이 싫은 문송한 우리들이라도 위 그림은 본 기억이 있을 것이다. ( 기억이 안 난다면 초등학생 조카의 교과서를 참조하자!! ) 위 "그림 2"가 말하는 것은 A` : A = B` : B라는 비례식이 성립한다는 것이다. 이를 바탕으로 우리는 (X3, Y3) 좌표, (X1, Y1) 좌표, X2 값을 가지고 " B`의 크기 : ( Y2-Y1 ) " 값을 아래와 같이 구할 수 있다.

식1: 선형보간법의 계산

 이 식을 위 그림 1의 3년 10개월물 채권금리 계산의 경우에 적용해 보자. (X1 = 1년, Y1 = 1%) , ( X2 = 3년 10개월, Y2 = ??? ) , ( X3 = 5년, Y3 = 2% ) 가 되고, 이를 바탕으로 ( Y2 - Y1 )의 값 또는 Y2의 값을 구할 수 있을 것이다. 

선형보간법 계산 연습: 국고채 4년 물 이자 계산

표1: 선형보간법 연습 데이터( 출처: 한국거래소( http://marketdata.krx.co.kr/mdi#5652b5b54b8c78c4a3ec723caac5728a=1&document=05030403) 21.01.10 인용)

지금까지의 내용을 바탕으로 실제 데이터 계산에서 선형 보간법을 적용해 보자. 위 표는 2021.01.08 기준 국고채 금리 커브이다. 우리는 위 표를 바탕으로 국고채 4년 물 금리를 선형보간법을 이용해서 아래와 같이 구할 수 있다. 

① 국고채 4년 물은 3년 물~ 5년 물 중간에 있다. ( X3 - X1 = 2년, X2 -X1 = 1년 ) 

② 국고채 5년 물과 3년 물의 금리 차이는 0.3480 % 이다.( Y3 - Y1 = 0.3480 %)

③ 국고채 4년 물 금리와 3년물 금리의 차는 0.1740% 이다.( 0.3480 % * 1/2 )

④ 국고채 4년물 금리는 1.1540 % 이다. ( 0.9800% +0.1740% ) 

 

생각보다 많은 계산이 필요한 선형 보간법을 파이썬으로 쉽게 구현할 수도 있는데 이는 이 블로그의 선형보간법 연습 : 파이썬 구현 과 선형보간법 연습 : 파이썬 구현(라이브러리 이용) 을 참고하도록 하자!