듀레이션의 두 가지 의미: MacD 와 ModD

1. 너무나도 다양한 듀레이션 공식 

  구글에서 듀레이션을 검색해 보면, 듀레이션이라는 개념을 정말 다채롭게 설명해 놓았다. 공신력 있는 정의를 찾기 위해서 한국은행 사이트로 들어가 보았다. 

 

그림1: 듀레이션정의 ( 출처: 한국은행 https://www.bok.or.kr/portal/ecEdu/ecWordDicary/search.do?menuNo=200688&query=%EB%93%80%EB%A0%88%EC%9D%B4%EC%85%98&ecWordSn=193 21.01.16 인용 )

 

  위 정의를 자세히 살펴보면, 맨 첫 줄에 분명히 "자금의 평균회수기간"이라고 듀레이션을 정의해 놓고, "한편"이 나오면서 "듀레이션은 채권 가격의 이자율 탄력성"을 나타낸다고 다시 정의하고 있다. 다른 사이트, 경제 기사 등에서도 위와 같이 듀레이션을 어떤 경우에는 "자금의 평균 회수기간"인 것처럼 사용하고, 어떤 경우에는 "채권 가격의 금리 변화에 대한 민감도"인 것처럼 사용한다.

  이런 현상은 사람들이 맥컬레이 듀레이션과 수정 듀레이션을 혼용하기 때문에 나타나는 것이다. 분명히 다른 개념임에도 같은 듀레이션이라고 생각하고 막 쓰는 경우가 대부분이다. 따라서 이하에서는 맥컬레이 듀레이션과 수정 듀레이션 각각의 개념과 두 개념의 관계를 명확히 살펴보고, 이 두 개념을 이렇게 막 섞어써도 되는지 생각해 보려고 한다.  

2. 맥컬레이 듀레이션(Macaulay Duration): 현금흐름의 가중평균 만기

  맥컬레이 듀레이션은 아래와 같은 그림으로 설명이 가능하다.  

 

그림2: 맥컬레이 듀레이션

 

  이자1, 이자 2, 이자 3, 이자 4에 원금을 주는 채권을 생각해보자. 시간이 0부터 M까지 주어졌다고 할 때, 이 채권의 각각의 현금흐름이 발생한 시간에 현금흐름을 현재가격으로 나누어 준 비율을 곱해주어 가중평균을 만들면 위 그림 2에서 "주황색 세모"가 위치한 값이 나온다. 이 지점이 맥컬레이 듀레이션이다. 우리가 채권을 산다면 현재 가격으로 살 것이고 이자 1부터 원금까지의 각각의 회수기간이 내가 채권을 산 현재가치에 의해 가중치가 메겨지기 때문에 맥컬레이 듀레이션을 자금의 평균 회수기간이라고 정의하기도 한다. 

  연 이자율이 r 이고 1년에 두 번 C라는 이자를 주고 원금이 NP 인 채권을 가정하면, ( 채권의 만기까지 이자 지급 횟수는 n 회라고 가정한다. ) 맥컬레이 듀레이션은 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

그림3: 맥컬레이 듀레이션 식

 

  현재 가격은 미래 현금 흐름을 현재가치화 한 금액으로 결정되며, 연 이자율이 r 이므로 1년에 두 번 지급되는 C라는 이자는 1/2 * r로 현재가치화 해야 한다. 그리고 시간가치는 1년이 1이라고 했을 때, 1년에 두 번 지급되는 현금흐름은 6개월마다 발생하므로 1/2 씩 증가한다고 볼 수 있다. 

3. 수정 듀레이션(Modified Duration): 채권가격의 금리에 대한 민감도

  "한편!!" 수정 듀레이션은 채권가격이 금리에 대해서 얼마나 민감한지를 의미하는데, 아래 그래프의 기울기가 된다. 

그림4: 수정 듀레이션 개념

 

  채권가격을 V, 금리를 r 이라고 할 때, 그림의 기울기인 수정 듀레이션을 식으로 나타내면 다음과 같다. 

그림5: 수정듀레이션 식

위에서 알 수 있듯이 수정 듀레이션의 개념에는 맥컬레이 듀레이션처럼 현금흐름에 시간을 곱해주거나 하는 것은 전혀 없다. 그런데 왜 수없이 많은 사람들이 이 두 개념을 혼용하는 것일까?

4. MacD 와 ModD의 만남: 혼용의 이유

  두 개념은 출발점이 분명히 다름에도 식의 특성 때문에 도착지가 같다. 도착지가 같아지는 과정을 연 이자율이 r 이고 1년에 두 번 C 라는 이자를 주고 원금이 NP 인 채권을 ( 채권의 만기까지 이자 지급 횟수는 n 회라고 가정한다. ) 다시 가정하여 생각해 보자. 

그림6: 수정듀레이션과 맥클레이 듀레이션이 만나는 과정

  위 그림에서 처럼 Modified Duration 에서 시작해서 채권 가격(V)을 이자율(r)로 미분하여 식을 정리하면 3번과 같은 식이 나온다. 이를 1번 식인 Modified Duration 식에 다시 대입하고, Macaulay Duration 은 "각 현금흐름에 시간가치를 곱한 것 / 현재 가격(V) " 인 것을 고려하면 위 그림 6의 4번 식처럼 정리할 수 있다. 결론적으로 수정 듀레이션은 맥클레이 듀레이션에 한 구간의 금리할인 효과 정도만 반영하면 나오는 값이 된다. ( 앞의 사례는 이산 복리인 상황을 가정했는데, 연속 복리인 상황에서는 수정 듀레이션과 맥컬레이 듀레이션이 완전히 같아진다. ) 따라서 채권가격의 이자율 탄력성이든 자금의 평균 회수기간이든 비슷한 값을 가지게 되고, 두 개념을 혼용해서 사용하더라도 문제가 없어지게 된 것이다.

※ 현재가격(V)을 이자율로 미분하는 과정 추가 설명

  현재가격(V)을 이자율로 미분하는 그림 6 - 2번 과정이 황당할 수 있다. ( 우리 문송한 투자자들 입장에서 ) 

그림7: 현재가격 식

 그림 7처럼 쭉 나열된 식은 간단하게 식 하나하나 미분한다고 생각하면 된다. 그리고 위 현재 가격의 첫 번째 항을 r로 미분하는 과정은 다음과 같다. ( 합성함수의 미분법을 사용하면 쉽게 미분 가능하다. )

 

그림8: 미분예시

 

 

결론: 듀레이션을 채권가격의 이자율 탄력성, 자금의 평균 회수기간이라고 혼용하는 것은 오류는 아니다.